沿一个函子映出（反映？）
我们都知道，考虑定义了加法的自然数幺半群，与其联系的最紧密的交换群是整数加法群
。事实上存在一个明显的由交换群范畴到交换幺半群范畴的遗忘函子
给定一个交换幺半群M，我们要寻找一个最佳的交换群A，使得M可以作为子幺半群而嵌入UA中。UA就是交换群经遗忘函子作用得到的交换幺半群。
上面的例子多少有一点误导性，因为他过多的坚持要将一个幺半群嵌入一个群中。
让我们考虑一个完全不同的例子。
存在一个明显的由豪斯多夫空间和连续映射所成的范畴到拓扑空间和连续映射所成范畴的遗忘函子。
一个拓扑空间是豪斯多夫的，当对角映射是闭映射。因此，对于一个拓扑空间，存在最佳的相联系的豪斯多夫空间。他就是拓扑空间关于对角映射闭包（本质上是一个等价关系）的商空间。这一次豪斯多夫空间就是最佳的拓扑空间的豪斯多夫商。
一般的，给定两个范畴间的任意函子
我们可以找出联系于范畴B中的给定对象B的最佳的范畴A中的对象A。可以认为是两个范畴中对象的一种配对关系。
这个最佳的对象可以构成一个标准的态射
，这个态射可以是单态或者满态，但是一般的仅仅是一个任意的态射罢了。
那么，到底什么意味着最佳和标准呢？
好吧，就像一个限制是联系于一个函子的最佳的锥，我们可以要求任意的别的可能的态射可以经这个标准的选择
进行唯一分解。就像我们对限制所做的要求一样。
设F：A---B是一个函子，B是范畴B中的一个对象，那么对象B沿函子F的一个反映是序对满足
1.是范畴A中的一个对象，
是范畴B中的一个态射
2.如果A是范畴A的一个对象，是范畴B中的一个态射，那么存在范畴A中的唯一的态射
使得
伴随函子，总算是开始了，人们都说没学过伴随函子就等于没学过范畴论，伴随的概念是范畴论中最重要的部分，也是与其他领域有显著区别的部分。之前尝试去看，结果什么都看不懂，现在，经过这么长时间的准备，该发起第二次冲击了。这次是有备而来，必能有所斩获。
感觉有的名词真的很难去翻译，像这个reflection，之前是姑且称为映出，现在又暂时定为反映，理由是因为这是由值域范畴中的对象经函子反向得到了定义域范畴中的一个对象，所以感觉带一个反字比较合适。至于到底怎么翻译合适，其实都无所谓，图形都是一样的，用范畴论中的一句话，这些称呼“在同构的意义下唯一”，再合适不过了。
