回归本原 独出机杼
——谈张齐华老师“分数的意义”一课的妙处
《小学数学教师》编辑部 陈洪杰
耳目一新！这是现场听完张齐华老师“分数的意义”一课最直接的感觉。静下心来，细细品味，张老师的这堂课也是妙处纷呈、韵味悠长。
一、由1到“1”，突破抽象整体，激发数学眼光。
课始，张老师板书一个“1”字，问：“认识吗？”“1”谁不认识呢？但在五年级的课堂上，哪个老师会问这么简单的问题？看来，问题背后必有奥妙。学生的注意力在对问题背后奥妙的揣测中，一下子被调动了起来。不仅是学生，我们听课的老师也伸长了脖子。
“哪些物体的数量可以用1来表示？”这个简单的问题真正拉开了这次教学创新的序幕。果然，学生的思路先是局限在单个的物体上，“一个苹果”“一张桌子”。张老师稍一点拨，学生的思路马上打开：“1”还可以表示“一个班集体”“一群羊”“一束花”，等等。这一环节，张老师把学生对“1”的理解引向了深入，由表示基数意义的自然数的“1”，引向了表示一个集合的整体意义的“1”。这两个不同层次的“1”的意义，对应了“分数意义”涉及的不同整体：在分数初步认识阶段，把单个物质实体看作一个具象整体，把这个具象整体平均分成几份，其中的一份就是这个具象整体的几分之一；在分数的再认识阶段，把多个物质实体看作一个抽象的整体，把这个抽象的整体平均分成几份，其中的一份就是这个抽象整体的几分之一。
在“分数是一个整体平均分成几份之后其中的一份或几份”这样的“份数定义”层面（还有其他的定义方式，见下文），分数的本质是表示“整体与部分”的关系。而在分数的再认识阶段，学生的难点正是受抽象整体包含的物体数量的影响，而不能从“部分-整体”的角度来进一步认识分数。表现在教学中就是这样的现象：8个苹果划为4份，其中的2个，学生认为应该用2/8表示。
张老师对“1”的意义的建构，强化了把多个物体看为一个整体的数学眼光，借助对“1”的意义的建构，实际上突破的是对分数中抽象整体的认识。正是由于有对“1”可以表示一个整体的事先认识，在之后的教学中，学生才很容易地摆脱了抽象整体的一份有多个物体的干扰，把分数的意义聚焦在部分与整体的关系上。
教学到这里，张老师的课已经可以说是“出手不凡”了！
二、“量纲”重建，从数学的角度创新分数意义的教学。
数学中的数字都是没有量纲的，量纲是物理学中的名词。将一个物理量用若干个基本量的乘方之积表示出来的式子，称为该物理量的量纲式，简称量纲。（张奠宙）从自然数起，1，2，3…，分数，小数，根号2，π，等等，凡数学中运算的量都没有量纲。因此，我将张老师追求的分数教学的“有量纲性”，理解为将分数不是作为一个结果来教，而是作为一个有方向性的“矢量”来教。既然如此，就必须要有一个起点，这个起点就是作为度量标准的单位“1”。当我们把“1”理解为度量数的一个标准量时，自然数和分数就被统一起来，恰如张兴华老师所说：“如此看来，整数也好，分数也罢，都是以‘1’作为标准量后计量的结果。唯一不同的是，整数是1的‘积’，而分数是‘1’的分而已。”也就是说，通过“1”这个起点，我们把分数纳入到一种新的关系中，分数不仅仅是表示“部分-整体”的关系，还是“1”的度量往和自然数相反的方向度量的结果——如果我们在数轴上来表示分数，就更容易理解这一点。
以“1”的度量来理解分数，这是一种数学的理解，那么这对教学有何意义？这样理解，学生以一种新的视角来理解分数，创新了分数意义的教学。以往我们进行分数意义的教学，教师最容易把焦点放在三个方面：（1）注重让学生进行折一折、涂一涂、圈一圈这样的操作；（2）注重为学生提供分数感知的生活材料和具体情境；（3）注重让学生正确地说出分数的意义。不管教师怎样腾挪跌宕，分数意义的教学往往脱不了以上三点。折、涂、圈的操作，可以让课堂热热闹闹；为学生提供生活材料和情境，可以体现新课程倡导的理念；而让学生正确地说出分数的意义，可以凸显教学的成效。因此，分数的意义教学很适合公开展示，成了公开课上常常露脸的内容。然而，这样教学学生往往不是在一个“真问题”的驱动下进行操作的；由于提供的材料“同质化”，学生也很难真正经历抽象出分数意义的过程；至于最后的正确说出分数的意义，也往往是鹦鹉学舌。出现这样的缺陷，纵然有教师教学技艺层面的原因，另一个重要的原因恰恰就是老师没有带领学生发现分数的新意义。在分数的初步认识基础上再教学分数的意义是容易的，甚至于教学设计的结构都可以迁移，但正由于两次教学的“相似”，学生的思维很难被激活。
笔者认为，所谓新的意义，是在两个或多个没有联系的元素之间建立新的联系。张老师的课，从以“1”来度量的角度赋予了分数新的意义，正因此，学生觉得这样教学新、奇、趣，整堂课都能聚精会神地参与其中。事实证明，没有操作、没有生活情境，也不一定要让学生一遍一遍地说，也能让学生把握分数的意义。必须看到，当分数的数学意义被挖掘出来后，静悄悄的课堂也可以是学生火热地思考着的课堂。正是从这个意义上说，数学的本质比外在的形式重要，教什么比怎么教重要。
三、不仅仅是关注单位“1”，还经历了由具象到抽象的过程。
在教学中，由于有作为度量标准的“1”作为拐杖，张老师出示图片让学生表示相应的数。
在此基础上，聚焦最后的3/4，这一教学过程不仅仅如张老师所说是“在计量的背景下一次次强化对单位‘1’含义的理解”，还暗含着概念教学的应有取向。在教材中，一个数学概念往往是以精确、简洁的定义形态呈现的。这是一种“结果式”的呈现，概念的形成过程在这样的呈现中是看不到的。正因此，以往的教学常常遵循“呈现概念-记忆概念-辨析概念-运用概念（练习）”的教学路径。即便在新课改背景下，分数概念的教学很大程度上也还是这样的演绎教学。而如果我们以“感知材料-观察比较-归纳提炼-抽象命名”的思路来设计教学，就有可能使学生以更高层次的思维活动方式经历概念的形成过程，真正经历“数学化”。因此，张老师课中的这个环节，不停地呈现的是“3/4”的种种表象，最后一并呈现，学生就会去观察这些表象的异同，抽象出“3/4”的本质。——这样的教学方式，在其他的概念教学中也应该坚持。
有必要支出一点的是，分数的“份数定义”特别强调“平均分”，这里的平均分是指各个部分的地位相同，而不是外观、材质等物理属性的相同。正因此，笔者曾经撰文指出，应该给学生呈现“异质个体构成的整体”，比如，一个车队既有卡车，又有轿车，我们说卡车占1/2，那是基于卡车和轿车的地位相等。从这一点考虑，这个教学细节如果呈现一个“异质个体构成的整体”可能会更完美一些。
四、数轴的出现，为分数的另外一种意义的引入埋下了伏笔。
作为数学教师，应该有长远的眼光，应该能看到一课教学内容之外的东西。就分数的定义而言，其实有四种：第一种就是教材上的，以份数来定义；第二种，把分数看成两个整数的商；第三种，分数是两个数的比；第四种是公理化的定义，把分数看成有序的整数对（p，q）。
分数定义中一份或几份的说法，没有逃脱自然数的“影子”，显示不出分数是一个全新的数。在教学中，有的老师借助“几份之一（份）”让学生来理解“几分之一”，如果学生始终不能丢掉“份”的单人旁，理解还是没有到位。其次，取整体中的一份或几份这样的说法，学生会误认为分数总是小于1。这就带来教学中以图像、实物来代表一个大于1的分数时，比如1又1/4，学生又会陷入 “是1又1/4还是5/8的”争论。因此，如果教师能注意到这些后续问题，那么在一堂课的教学当中就有可能“立足一点，放眼长远”。
从数学层面而言，分数的真正来源是自然数除法的推广。在自然数领域，除数比被除数大的情况是无法计算的，所以，分数就有了产生的需要。在凸显分数是一个新数这一点上，数轴这个“半抽象”的载体，比各种实物、涂色的几何图形更适合作为教学的载体。在张齐华老师的教学中，最后出现的图，其含义就是要点出3/4和其他自然数一样，“可以表示一个具体的数”。
当然，在此处，学生未必会深刻理解分数是一个新的数。在后续的教学中，或许可以考虑用一段比“1”长的线段，让学生用分数表示，引发学生的讨论。或者，在这堂课中聚焦数轴，让学生看到几分之一“填满了”0到1的区间，后续教学追问数轴上1到2之间是什么数，是不是也可以用分数去“填”。此外，对于图3，可以考虑利用多媒体的优势，设计一个所有“3/4的表象”都“嗖”一声缩入“3/4”这个数，同时数轴放大的动画。
以上是听了张齐华老师“分数的意义”一课后的零碎想法。教学如棋局局新，当一堂新课呈现出来后，我们或许能说出个一二三来，但之前孕育过程的甘苦，则非外人所能体会。因此，谢谢张老师的探索，不仅为我们打开了思路，还为我们提供了努力的范本。期待张老师给我们带来更多的惊喜。
