感悟运算的一致性——小数和分数除法

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一、为什么要让学生感悟运算的一致性？

二、如何打通分数与小数除法的运算一致性？

    感悟运算一致性的背景：

    2022版课标强调“探索数运算的一致性”。新课标在第三学段的内容要求中明确提出：能进行简单的小数、分数的四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。史宁中教授也提到“需要注意两个一致：乘法除法运算一致：整数、小数、分数运算一致”。

      需要关注小数除法与分数除法的差异

      在教材安排上，小数除法是利用转化的思想，通过商不变的规律，将小数除法转换为除数是整数的除法进行计算；而分数除法时利用除以一个不为0的数等于成这个数的倒数来进行计算。从整数除法到小数，除法形式相似，我们可以利用将未知转换为已知的思想，打通整数除法与小数除法的一致性。而分数除法与小数除法的一致性，需要通过以整数除法为纽带，理解算法与算理之间的关系，再进行一致性的梳理。

      两条设计路径打通分数与小数除法

      〈一〉把小数除法转化为分数

      要想用分数除法的算法统一小数除法计算，需要从教学内容编排的顺序上进行调整。从整数除法→分数除法→小数除法。需要将分数除法安排在小数除法之前，同时在小数意义的学习中，补充从运算的角度来认识小数，在整数除以整数不能整除的情况下，商要产生小数。在分数意义的学习中，加强分数与除法关系的教学。一栏用分数表示整数除以整数的结果，二来渗透整数除法于成倒数的关系。例如8÷4=8×1/4=8/4=2，它渗透的代数思想是：a÷b=a×1/b。

      在这种整体思路下，需要关注并解决几个问题。首先，我们要借助具体的情境，帮助学生体会整数除法于乘倒数的关系。我们知道分数的意义是丰富的，在第一次接触分数时，我们对他的理解是可以作为除法的商，通过与具体情境的平均分物过程建立联系，让学生体会分数作为数的意义。理解分数也可以用计数单位和计数单位的个数进行表达。例如，我们知道把一个月饼平均分成四份每份是四分之一，取其中的三份得到的就是四分之三，这就是利用分数，作为数的意义来理解分数，可以用计数单位的个数进行表达。怎样帮助学生理解除以一个不为零的数等于成这个数的倒数呢，例如8÷4可以表示把8块糖，平均分给4个人，每人得到2块，也可以先分1块糖，每人分得四分之一块，结果就是8个四分之一，也是两块糖。简单的算是蕴涵着代数推理的过程。在20228新课标例16的表述中强调，根据除法是乘法的逆运算，要想知道8÷4＝（）就等价于8=（）×4。根据等式的基本性质，两边同时乘以四分之一，等量的等量相等，从而推理出除以一个不为0的数就等于成这个数的倒数。

      其次，通过代数推理，理解分数除法的算理

      在学习分数，除法之前，已经具备的背景知识，要整数除法的知识基础和分数意义分数乘法基础。鼓励学生把位置转化成已知。，也就是说，让学生迁移上面提到的整数除法可以看成乘除数的倒数，从而把分数除法转化成分数乘法，但这些需要借助前面的研究经验进行推理。逆运算是整个推理验证关键的第一步，让学生自然地联想到逆运算也是教学中的一个难点，所以需要我们在常态课中对逆运算加以关注，比如在低年级的一图三式、想加算减、乘法口诀求商、逆运算的验算中，进行逆运算意识的渗透。这于2022版新课标在第一学段的学业要求中提到的知道减法是加法的逆运算、除法是乘法的逆运算相一致。具体怎么做呢？必要时我们可以把分数除法放在一个具体的有趣的情境之中，激发学生们的求知欲，根据学生的实际情况出发，可以从除以分数开始，推理解决分数，除法的一般算法及成倒数，也可以鼓励学生解决分数，除以整数的问题，借助平均分在认识和理解，也就是平均分成几份就是成几分之一，然后再利用代数推理进行推导，让学生体会推理过程。

      最后同化小数除法，获得通法

    通过前面分数除法与整数除法的代数推理。我们可以将小数除法转化成分数除法，从而实现分数、小数除法运算一致性。比如我们求两个小数相除时，可以将小数先转化成分数，再利用分数乘一个不为0的数等于乘以它的倒数来进行计算。

    〈二〉将小数除法和分数除法转化为整数除法

      在这种整体是楼下需要关注三个问题：一是如何迁移单位细分的经验，解决除数是整数的小数除法？二师能否验证商不变，规律的正确性？三是如何帮助学生将分数除法转化为整数除法，感悟运算的一致性？

      迁移计数单位细分的经验，解决除数是整数的情况。在学习小说之前，已经有了整数除法的经验，因此，我们可以把之前学习的整数除法的经验，迁移到小数除法上台，教材中的安排是把小数除法转化成除数是整数来解决，对于除数是整数的情况，最开始是通过元、角、分的现实原型以及直观图来体会除数是整数的小数除法计算。当有余数时，需要将余数的技术单位进行细分，然后继续处下去，比如97÷2，商48余1。此时可以江阴分为10个0.1 ，将0.1在平均分成两份，结果是五个0.1就是0.5，所以97÷2等于48.5。实际上计数单位细分的想法与整数除法是一致的。

      鼓励学生在说说理中，验证商不变规律      。当遇到除数是小数的情况是，通常的做法是利用商不变的规律，先将它转化为除数是整数的除法来计算。因为伤不变的规律是通过不完全归纳法得到的结论。为了加大验证的力度，我们可以鼓励学生借助运算的意义，生活中的例子，画图等加以验证。商不变规律的推理过程如下：

除法→逆运算→等式的基本性质→逆运算→等量的等量相等→商不变规律。

    同化分数除法，打破壁垒，获得通法。有了小数，除法转化为整数除法的学习经验，能够自然而然地将分数除法转化为整数除法进行计算。因为小数除法和分数除法在本质上的差异性，在分数除法转化为整数除法的教学中，我们需要关注学生的认知水平。第一种尝试是利用商不变的规律，将分数转化成整数之后再进行计算。这是大多数学生能够理解的分数，除法装化整数除法的运算方法。还可以利用商不变的规律将除数变为1，来验证，除以一个不为零的数就等于乘以这个数的倒数。

      202版课标非常强调，数学课程的整体性和一致性。小学阶段属于代数领域的整体性和一致性，主要就表现在数概念本质的一致性和运算本质的一致性。昨天梳理了数概念本质的一致性，今天重点梳理的是小数，除法和分数除法运算一致性的探讨。这中间空缺的部分是整数加法、小数加法和分数加法算理和算法之间的一致性。我理解的是它们的加减法就是相同计数单位的加或减，在教学中，要渗透计数单位和计数单位个数的重要作用。（图解）

      提出运算一致性的目的是使学生体会数学的整体性和联系，加深对算命的理解，从而发展运算能力和推理意识。运算一致性的教学，不适合放在新授课中进行系统的讲解，最适合放在总复习中将不同的运算进行勾脸。最重要的是要设计出适合学生情境的活动，鼓励学生探索不同运算之间的联系。