【问题情境】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是AC左侧平面内�一点，作直线CP，∠ACP＝α(0°＜α＜90°) ，作点A关于直线CP的对称点E，连接AE交直线CP于点D，连接BE交直线CP于点F.
【操作发现】
(1)当α＝10°时，∠BFC的度数为 ；
当α＝30°时，∠BFC的度数为 ；
【解法提示】如解图①，连接CE，
∵点A与点E关于直线CP对称，
∴AC＝CE，∠DCE＝∠ACD＝10°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴BC＝CE，∠BCE＝∠ACB＋∠DCE＋∠ACD＝110°，∴∠CEB＝1/2 �×(180°－∠BCE) ＝35°，∴∠BFC＝∠CEF＋∠FCE＝35°＋10°＝45°；同理，当α＝30°时，∠BFC的度数为45°.
【拓展探究】
作点A关于直线CP的对称点E，连接AE交直线CP于点D，连接BE交直线CP于点F.
(2) ①当0°＜α＜45°时，试判断∠BFC的度数是否为定值，并证明你的结论；
解：（2）①∠BFC的度数是定值，
证明：当0°＜α＜45°时，如解图②，连接CE，
∵点A与点E关于直线CP对称，
∴AC＝CE，∠ECD＝∠ACD＝α，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CB＝CE，
∴∠CEB＝1/2 ×[180°－(90°＋2α)] ＝45°－α，
∴∠BFC＝∠ECD＋∠CEB＝α＋45°－α＝45°.
【拓展探究】
作点A关于直线CP的对称点E，连接AE交直线CP于点D，连接BE交直线CP于点F.
②当0°＜α＜45°时，猜想线段BF，EF与CF的数量关系，并证明你的结论；
解：②BF－EF＝√2 CF，证明如下：
如解图②，过点C作CG⊥CF交BE于点G，
由①知，∠BFC＝45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，∠CFG＝∠CGF，FG＝√2 CF，
∴∠CFE＝∠CGB，
由①得∠CEB＝∠CBE，
在△CEF和△CBG中，
∠CEF＝∠CBG，
∠CFE＝∠CGB，
CF＝CG，
∴△CEF≌△CBG(AAS)，
∴EF＝BG，
∴BF－EF＝BF－BG＝FG＝√2 CF.
【一题多解】
过点C作CH⊥BE于点H，
利用等腰三角形三线合一和锐角三角函数解决
【同类】
（1）①设∠ACN=α，则∠ECN=α
∠ACB=60°
∠ECB=60°+2α
∠EBC=[180°-（60°+2α）] ÷2=60°-α
∠MFE=∠EBC+∠ACN=60°-α+α=60°
②过点C作CH⊥BE于点H，
利用等腰三角形三线合一和锐角三角函数解决
【类比探究】
（2）FA=FE
∠FAC=∠FEC
CA=CB, CA=CE,
CB=CE,
∠CBE=∠CEB
∠FAC=∠FBC
A、B、F、C四点共圆
∠ACB=∠AFB=60°
∠AFE=120°
∠AFC=∠MFE=60°
过点C作CH⊥BE于点H，
利用等腰三角形三线合一和锐角三角函数解决
作图：
【一题多解】
在BE上截取一点G使BG=AF
证△CFG为等边三角形
【一题多解】
把CF绕着点C逆时针旋转60°，交BE于点G
证△CFG为等边三角形
