今天阅读了课题17《 面积的定义应该突出数学本质》。长度、面积、体积三者分别从一维二维三维角度来认识事物。三者有没有共性的地方呢？除了都是用单位去度量，还有更深刻的，更体现数学本质的东西吗？跟随阅读去发现。

一、面积的定义是什么?

描述性：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。（教科书）

……大小就是面积就生活化的一种描述。我们教学的时候，有的时候会去关注“表面”“封闭”，其实这些词都是生活化的，显而易见，并不能很好揭示其数学本质。

下定义：几何学的基本度量之一，用以度量平面或曲面上一块区域大小的非负数通常以边长为单位长的正方形的面积为度量单位。（辞海第6版，这里将正数改为非负数更为符合，图形面积可以是0。）

书中还介绍了现代数学中的测度理论：说明面积的定义，既可以作为一种定义，也可以作为计算面积的方法。这样的方法符合有限可加性、运动不变性和正则性。前两个性质顾名思义，最后的正则性简单来说就是单位，度量标准。

二、长度、面积如何进行区分？

结合实际教学过程中，相当一部分孩子关于长度和面积，有的时候混淆不清。

出现这样的混淆，一方面孩子还没有建立起自己关于面积的认知结构，没有深入内化到看到面积就想到本质是单位面积去覆盖度量。

另一方面，生活经验的影响。长度我们可以用尺子去衡量，那么看到长方形面积学生也很容易想到用尺子去测量。但是面积测量的不是长方形的长和宽，而是看这个长方形被多少个小正方形覆盖。

除了利用活动动手操作等各种方法，让孩子在头脑中建构好自己，关于长度，面积数学概念的认知结构。还要有意识的让孩子进行辨析，区分两者的不同。但其本质还是概念的建构。

三、长度、面积、体积的教学结构上的一致性？

那么长度面积体积在教学结构上的一致性，我们还是可以回到书中提及的测度理论。当然不是用这样的数学中的术语去直接告诉孩子。而是教师心中有数，有意识地将这种这些思想方法渗透到三者概念的教学过程中。

1.有限可加性。

长度就是单位长度的累加。例如测量一只铅笔有多长，用直尺测量，一厘米一厘米的累加得到最后的长度。

面积就是单位面积的累加。例如一个长方形的面积有多大？用1平方厘米的小正方形去铺，一平方厘米，一平方厘米的累加最后得到面积。

体积就是单位体积的累加。例如一个长方体的面积有多大？用1立方厘米的小正方体去堆，一立方厘米，一立方厘米的累加最后得到体积。

2.运动不变性。

举个例子长度1厘米，面积1平方厘米，体积1立方厘米不管处在何处，什么位置他们都是1厘米，1平方厘米，1立方厘米。

3.正则性。

那就是单位和标准。以长度单位为例，当我们用一米的米尺去度量一支铅笔的长度，那明显是不合适的。用一分米一分米去度量这只铅笔，结果不一定是整数。用一厘米一厘米去度量这支铅笔。或者用一毫米一毫米去度量这支铅笔，得到的结果会越来越精确。也就是范单位太大，那么我们要寻找更小一点更合适的单位去度量。

最后关于长方形的长宽从自然数到小数到分数的衔接推导画了简单示意图思考，也是很有意思的一个点。

拓展阅读：

张奠宙《数学教育随想记》

1253字2022.11.26