向量组、方程组与线性空间
维数与基
(西南交通大学,2022)设 
为数域 
上 
维线性空间 
的子空间,且维 %20%5Cneq%7D)
维 %7D)
,试证: 若
%3D%5Ctext%7B%E7%BB%B4%7D%5Cleft(V_%7B1%7D%20%5Ccap%20V_%7B2%7D%5Cright)%2B2%20.%20%7D)
则 
或 
.
proof
由于维 %3D%7D)
维 %2B%7D)
维 -%7D)
维 %3D%7D)
维 %2B2%7D)
,所以
%20%5Ctext%7B%E7%BB%B4%7D%5Cleft(V_%7B1%7D%20%5Ccap%20V_%7B2%7D%5Cright)%5Cright)%2B%5Cleft(%5Ctext%7B%E7%BB%B4%7D%5Cleft(V_%7B2%7D%5Cright)-%5Ctext%7B%E7%BB%B4%7D%5Cleft(V_%7B1%7D%20%5Ccap%20V_%7B2%7D%5Cright)%5Cright)%3D2)
而上式左边两项均为非负整数,同时由维 维 可知两项不能均等于 1 ,所以只能是一项为 0 ,另外一项为 2 ,若维 -%7D)
维 %3D0%7D)
,即维 %3D%7D)
维 %7D)
,那么结合 
可知 
,于是 .同理,若维 维 ,则 .
(云南大学,2022)设 
是实数域,且 ![{f(x) \in \mathbb{R}[x]}](https://math.jianshu.com/math?formula=%7Bf(x)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D%7D)
,问线性空间 ![{\mathbb{R}[x]}](https://math.jianshu.com/math?formula=%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D%7D)
的子集
%20%7C%20f(1)%3D0%2C%5Cpartial(f(x))%20%5Cleqslant%20n%20%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20f(x)%3D0%5C%7D)
是子空间吗? 为什么? 如果是,求 
的维数.
solution
首先对任意的 %2Cg(x)%20%5Cin%20W%7D)
,对任意的 
,根据 %3Dg(1)%3D0%7D)
可知
(1)%3Dk%20f(1)%2Bg(1)%3D0%20.%20%7D)
同时根据 )%20%5Cleqslant%20n%7D)
或 %3D0%7D)
及 )%20%5Cleqslant%20n%7D)
或 %3D0%7D)
可知 %2Bg(x))%20%5Cleqslant%20n%7D)
或 %2Bg(x)%3D0%7D)
,所以 %2Bg(x)%20%5Cin%20W%7D)
,这说明 是 的子空间.
另外,取 %3D(x-1)%5E%7Bi%7D(i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn)%7D)
,显然 %20%5Cin%20W%7D)
,同时若实数 
满足
%2Bk_%7B2%7D%20p_%7B2%7D(x)%2B%5Ccdots%2Bk_%7Bn%7D%20p_%7Bn%7D(x)%3D0%20.%20%7D)
那么根据 次项的系数可知 
,接下来再根据 
次项的系数可知 
,以此类推,可知
这说明 %2Cp_%7B2%7D(x)%2C%5Ccdots%2Cp_%7Bn%7D(x)%7D)
线性无关.其次,对任意的 %20%5Cin%20W%7D)
,由于 %3D0%7D)
,且 或 ,所以 %7D(x)%3D0%7D)
,那么由泰勒定理可知
%20%26%3Df(1)%2Bf%5E%7B%5Cprime%7D(1)(x-1)%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D(1)%7D%7B2%20!%7D(x-1)%5E%7B2%7D%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(1)%7D%7Bn%20!%7D%20%5C%5C%20%26%20%3Df%5E%7B%5Cprime%7D(1)%20p_%7B1%7D(x)%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B%5Cprime%20%5Cprime%7D(1)%7D%7B2%20!%7D%20p_%7B2%7D(x)%2B%5Ccdots%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(1)%7D%7Bn%20!%7D%20p_%7Bn%7D(x)%20%5Cend%7Baligned%7D)
由此可知 是 的一组基,进而 
.
(合肥工业大学,2022)设 
是数域 中 
个互不相同的数,令
![{ W=\left\{f(x) \in P[x]_{n} | f\left(a_{i}\right)=0,i=1,2,\cdots,k\right\} . }](https://math.jianshu.com/math?formula=%7B%20W%3D%5Cleft%5C%7Bf(x)%20%5Cin%20P%5Bx%5D_%7Bn%7D%20%7C%20f%5Cleft(a_%7Bi%7D%5Cright)%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Ck%5Cright%5C%7D%20.%20%7D)
其中 ![{P[x]_{n}}](https://math.jianshu.com/math?formula=%7BP%5Bx%5D_%7Bn%7D%7D)
表示 上所有次数小于 的多项式以及零多项式组成的线性空间.
- 证明 是 的子空间;
- 求 的维数和一组基.
proof
对任意的 ,有 %3Dg%5Cleft(a_%7Bi%7D%5Cright)%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Ck%7D)
,所以对任意的 
,有
%5Cleft(a_%7Bi%7D%5Cright)%3Dl%20f%5Cleft(a_%7Bi%7D%5Cright)%2Bg%5Cleft(a_%7Bi%7D%5Cright)%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Ck%20.)
即 %2Bg(x)%20%5Cin%20W%7D)
,这说明 是 的子空间.
-
当 
时,对任意的 ,根据 %3D0(i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Ck)%7D)
可知 %7D)
存在 个零点,而次数小 于 的非零多项式零点个数也小于 ,所以 只能是零多项式,即此时 
,其维数为零,无基.
当 
时,记 %3D%5Cleft(x-a_%7B1%7D%5Cright)%5Cleft(x-a_%7B2%7D%5Cright)%2C%5Ccdots%2C%5Cleft(x-a_%7Bk%7D%5Cright)%7D)
,考虑向量组 中的向量组
%2Cx%20g(x)%2C%5Ccdots%2Cx%5E%7Bn-k-1%7D%20g(x)%20.%5Cquad%20(1))
一方面,若 
满足
%2Bl_%7B1%7D%20x%20g(x)%2B%5Ccdots%2Bl_%7Bn-k-1%7D%20x%5E%7Bn-k-1%7D%20g(x)%3D%5Cleft(l_%7B0%7D%2Bl_%7B1%7D%20x%2B%5Ccdots%2Bl_%7Bn-k-1%7D%20x%5E%7Bn-k-1%7D%5Cright)%20g(x)%3D0%20.)
则有 
,即 
,这说明向量组(1)线性无关.
其次,对任意 %3Db_%7B0%7D%2Bb_%7B1%7D%20x%2B%5Ccdots%2Bb_%7Bn-1%7D%20x%5E%7Bn-1%7D%20%5Cin%20W%7D)
,由 可知 %20%7C%20f(x)%7D)
,所以存在
%3Dc_%7B0%7D%2Bc_%7B1%7D%20x%2B%5Ccdots%2Bc_%7Bn-k-1%7D%20x%5E%7Bn-k-1%7D%7D)
,使得 %3Dq(x)%20g(x)%7D)
,即
%3Dc_%7B0%7D%20g(x)%2Bc_%7B1%7D%20x%20g(x)%2B%5Ccdots%2Bc_%7Bn-k-1%7D%20x%5E%7Bn-k-1%7D%20g(x)%20.%20%7D)
即 可由向量组(1)线性表出.所以向量组(1)就是 的一组基,进而 
.
