从“核心概念”出发 感悟“数与运算”一致性
一、缘起新课标
“一致性”该词在数学新课标中共出现了18次，我提取了其中的几条，通过分析，我们发现，其表述角度和内涵包含这三个方面：今天，我主要和大家一起来探讨数的概念角度和数的运算角度的一致性。
新课标把“数与代数”原来的六个主题：数的认识、数的运算、常见的量、探索规律、式与方程、正反比例，调整为“数与运算”和“数量关系”两个主题。
将数的认识与数的运算进行了整合，对数与运算的教学提出了新的要求。加深对数概念的一致性、运算意义的关联性、数与运算的整体性、算理和算法的一致性、运算规律的共通性的教学理解，有助于我们把握新课标精神，引导学生探索运算一致性，促进学生加强知识间的相互联系，从而使学生形成更为整体而结构化的数学知识。
那么数与运算，包括整数，小数，分数，还包括加减乘除。这么庞大的内容，怎么去体现一致性呢？
二、数的概念一致性
首先我们来看数的概念。数概念的重点在于理解数的意义，学生要经历由数量到数的抽象过程，理解和掌握数概念，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，来形成数感和符号意识。
数是对数量的抽象，不管是整数，小数，分数，它们都是对数量的抽象。
数是多少个计数单位的表达，整数小数和分数都可以从计数单位和计数单位的个数这个角度来认识。整数，小数，分数都是表达了多少个这样的计数单位。
数是多少个单位的表达，一是打通“数域”之间关联，二是架起了“数与运算”的桥梁。
三、数与运算一致性
“数”与“运算”之间的联系。数的概念是数的运算的基础，数的运算是数的概念的再应用”，数的表达与运算方法的具有一致性。
1.数与运算的整体性
数与运算密切相关，数失去运算也就没有意义了。事实上，通过计数单位的累加和细分来认识数的过程中，就已经进行了运算。
整数、小数的加减法本质上是相同计数单位的数的累加与递减；分数相加减时，从分数的意义出发，需要统一分数单位。因此，无论是整数、小数还是分数的认识，都与运算密不可分。
学习四则运算必须通过理解算理达到掌握算法，而对算理的理解必须依据对数的意义和运算意义的理解，就像整数、小数和分数相加减，都要归结为相同计数单位（分数单位）上的数相加减。让学生从数的意义和计数单位的视角理解算理，建立起概念性知识和程序性知识的联系，有助于他们形成整体性的知识结构。
2.加减法运算的一致性
在小学数学四则运算中，整数加减法强调相同数位对齐，小数加减法强调小数点对齐，分数加减法则强调分母相同才能直接相加减。其算理在于，整数、小数、分数的四则运算本质上都是对计数单位进行运算，加减法表现为对计数单位的累加或递减。整数加减运算，就是将每一个数按照计数单位进行分解，然后相同计数单位上的数字相加减。分数相加减时，需要先统一分数单位：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先化成同分母的分数，再相加减。可见，分数相加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”，这与整数运算保持了一致。
小数加减法的算理、算法既可以基于整数的算理、算法，也可以基于分数的算理、算法，这充分显示了小数的“两栖性”。无论基于整数加减，还是基于分数加减，均是“相同计数单位上的数字相加减”。
综上所述，加减法运算的一致性体现为：相同计数单位上的数字相加减，计数单位不变。
在六年级下册教学《数的运算》这节课时，我们就是通过这样的竖式对比的方法，重在对计数单位及计数单位个数的探究，使学生直观感知到加减法运算的一致性。
3.乘法运算的一致性
相信大家在很多地方已经看到过用这样的拆解方法来探究整数、小数、分数乘法的运算一致性了，在这样的拆解过程中使用到了运算律。我们可以发现，整数乘法运算要进行两类运算：计数单位与计数单位相乘（这两个计数单位可以一样、可以不一样），从而得到新的计数单位；计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘，得到新的计数单位上的新的数字。
4.除法运算的一致性
关于除法运算的一致性，一直是我比较困惑的地方，如果有分享的不到我的地方，希望在座的各位老师提出自己的宝贵意见意见。
5.四则运算的一致性
史宁中教授指出：数的建构与数的运算都是基于计数单位进行的，所有的运算都是相同计数单位个数的变化。
在教学时，借助数轴回顾加减乘除四则运算的本质，理解加、减、乘、除运算意义之间的联系，感悟加法是计数单位个数的合并，减法是计数单位个数的拆分，乘法是计数单位个数的累加，除法则是计数单位个数的递减。因此，运算一致性的核心内容就是计数单位。
体会减法是加法的逆运算，乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算，所有运算都可以还原为加法，加法运算是所有运算的基础，而“计数单位”在打通四则运算一致性的过程中起到了至关重要的作用。
6.运算律角度感悟一致性
探究运算的一致性时，我们将数拆分成不同计数单位的数的和或积，然后再依据运算律进行运算，这一过程与运算律是密不可分的。实际教学过程中，通过图中这种数形结合的方式，感悟数的运算一致性，形成整体性的知识结构。
新课标颁布后，课程内容进行结构化整合，在“数与运算”这个主题下，沟通了数的概念与数的运算之间的关联，有助于学生从整体上理解数与运算的知识和方法，感悟数与运算之间的密切联系，体会数的运算本质上的一致性，也将促进学生数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养的提升。
