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定理:矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和。【在计重数意义下】 核心结论：对 阶方阵 ，在复数域中把它所有的特征值按代数重数记为 则一定有 其中 是矩...

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施密特正交化 施密特正交化是一种把一组线性无关的向量，变成一组两两正交的向量的方法，而且不改变它们张成的空间。通常也叫 格拉姆-施密特正交化。 正交化的核心步骤 正交化的核心...

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二次型的基本定义 设变量为 。形如 的二次齐次多项式，称为 元二次型。它的每一项总次数都是 。 令 则二次型总可以写成矩阵形式 其中 是 阶对称矩阵，即 。矩阵 称为...

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矩阵的特征值和特征向量 特征值和特征向量描述的是一个方阵对向量作用时，某些特殊方向上的向量只发生“伸缩”而不改变方向。 设 是一个 方阵。如果存在一个非零向量 和一个数...

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二次型基本概念 定义：二次型是只含二次项的多项式，形如 通常取 ，这样二次型可以用实对称矩阵表示。 二次型的矩阵表示 令 则二次型可写成 其中 是对称矩阵，即 。 二次型的...

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1. 矩阵乘法的定义 设 是 矩阵， 是 矩阵。则它们的乘积 是一个 矩阵，记 。其中元素定义为 也就是说： 的第 行第 列元素，等于 的第 行与 的第 ...

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线性变换的定义 本节介绍线性变换的概念，线性变换是指在线性空间之间“保持线性结构”的映射。简单来说，这种变换它保持加法和数乘。 线性变换：设 是同一个数域 （通常取 或 ...

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设 是 实矩阵， 是 维向量。最小二乘问题是 对应的正规方程组（也叫法方程）是 其中 是 的转置。 1. 为什么正规方程组一定有解 我们知道，一般的线性方程组 不...

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正交矩阵是实数域上的一个 方阵 ，满足 其中 是 的转置， 是单位矩阵。等价地， 这也就是说， 的列向量构成一组标准正交基：两两正交，且每个列向量长度为 。除此之外，它...

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设 是有 个顶点的路径，顶点记为 ，边为 。它的邻接矩阵是三对角矩阵 根据计算可以得到路径的邻接谱如下： 即 按从大到小排列为 对应的特征向量为单位化后为于是 邻接谱的特...

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1. Smith标准型的定义 设 是 的整数矩阵。存在可逆整数矩阵 、【这里的可逆指的是在整数上可逆，也就是它的逆矩阵也必须是整数矩阵】（即行列式为 的整数矩阵），使得...

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线性变换是线性代数中最核心的概念之一。简单说，它是一个“保持向量加法和数乘运算”的映射。你可以把它理解成一种对向量空间进行的不改变原点、不弯曲的线性操作，比如旋转、缩放、投影...

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凑微分法又叫做第一类换元法，其核心思路如下因为，从而得到 例如，因此 因此凑微分法就要我们非常熟悉每个函数的导数，从而找到他们之间的关系。 1. 凑微分：将 凑成 。 2....

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复矩阵的定义 与实矩阵类似，复矩阵就是元素为复数的矩阵。也就是说，如果一个 的矩阵 的每一个元素 都属于复数集 ，那么它就叫复矩阵。记作：如下所示 与实矩阵不同的是，在...

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本节我们来解释线性代数中幂零矩阵的概念设 是数域 上的 阶方阵。若存在正整数 ，使得 其中 是 阶零矩阵，则称 为幂零矩阵。使 成立的最小正整数 ，称为 的幂...

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1.欧拉函数的定义 欧拉函数通常记为,其中 是正整数。它表示在中，与 互素的正整数个数。 严格定义为： 其中 表示 与 的最大公因数为 特别地： 例如：因为在 中...

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本节我们介绍整环：简单概括：整环是域的前身，它是没有平凡零因子的交换环。 整环:如果一个环是有单位元交换环，并且它没有非零的零因子，那么我们就把称为一个整环。常见整数环的例子...

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构造含 9 个元素的有限域，写出它的全部元素。【思路】考虑这是他唯一的素数分解方式。 【解答】我们考虑在中找一个二次不可约多项式(因为都不是它的根) 因此就是一个域，它的每个...

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设 是一个代数封闭域(即 中每一个不可约多项式都是一次多项式), 求 的全部素理想。【解答】 中的每个理想都是主理想，其中非的主理想可以有首1的多项式生成，并且我们知道...